1.1 Newtons Gesetze und die Bewegung von Raketen

Der Raketenantrieb basiert grundlegend auf den drei Newtonschen Bewegungsgesetzen. Das erste Gesetz besagt, dass eine Rakete in Ruhe verharrt oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, solange keine äußere Kraft auf sie einwirkt. Das zweite Gesetz quantifiziert diesen Zusammenhang: $F = ma$, wobei $F$ die resultierende Kraft, $m$ die Masse und $a$ die Beschleunigung ist. Da sich bei Raketen die Masse durch den Verbrauch von Treibstoff jedoch kontinuierlich ändert, muss diese Gleichung angepasst werden.

Das dritte Gesetz besagt, dass zu jeder Aktion eine gleich große, aber entgegengesetzte Reaktion gehört. Dies ist das Grundprinzip des Raketenantriebs: Heiße Gase, die nach unten ausgestoßen werden, erzeugen eine nach oben gerichtete Schubkraft auf die Rakete selbst.

Betrachten wir eine Rakete zum Zeitpunkt $t$ mit der Masse $m(t)$, die sich mit der Geschwindigkeit $v(t)$ bewegt. Zum Zeitpunkt $t + dt$ hat die Rakete eine kleine Masse $dm_{exhaust}$ mit einer Ausströmgeschwindigkeit $u$ (relativ zur Rakete) ausgestoßen. Die verbleibende Masse der Rakete beträgt $m - |dm_{exhaust}|$ und ihre Geschwindigkeit hat sich auf $v + dv$ erhöht.

Gemäß dem Impulserhaltungssatz gilt: $p_{anfang} = p_{ende}$

$m(t)v(t) = [m(t) + dm][v(t) + dv] + (-dm)(v(t) - u)$

Durch Ausmultiplizieren und Vereinfachen (wobei zu beachten ist, dass $dm$ negativ ist, da die Masse abnimmt) ergibt sich: $mv = (m + dm)(v + dv) - dm(v - u) \Rightarrow mv = mv + mdv + vdm + dmdv - vdm + udm$

Vernachlässigt man den Term zweiter Ordnung $dmdv$, erhält man: $0 = mdv + u(dm/dt)dt \Rightarrow mdv = -udm$

Da $dm$ negativ ist (die Masse nimmt ab), schreiben wir: $dv = -u \frac{dm}{m}$

Dieser differenzielle Zusammenhang zwischen Geschwindigkeitsänderung und Massenverhältnis bildet die Grundlage der Raketentheorie. 1.2 Die Ziolkowski-Raketengleichung

Durch die Integration der Differentialgleichung von der Anfangsmasse $m_0$ bis zur Endmasse $m_f$ erhält man die berühmte Ziolkowski-Raketengleichung:

$\Delta v = \int_{m_0}^{m_f} -u \frac{dm}{m} = -u \ln(m) \Big|_{m_0}^{m_f} = u \ln\left(\frac{m_0}{m_f}\right)$

Dabei gilt:

$\Delta v$ ist die erreichbare Gesamtgeschwindigkeitsänderung
$u$ ist die effektive Ausströmgeschwindigkeit
$m_0$ ist die anfängliche Gesamtmasse (einschließlich Treibstoff)
$m_f$ ist die Endmasse (nach Verbrauch des Treibstoffs)

Oft wird die Gleichung unter Verwendung des spezifischen Impulses $I_{sp}$ ausgedrückt: $I_{sp} = \frac{u}{g_0}$

Hierbei ist $g_0 = 9,81 \, \text{m/s}^2$ die Normfallbeschleunigung der Erde. Daraus folgt: $\Delta v = I_{sp} \cdot g_0 \cdot \ln\left(\frac{m_0}{m_f}\right)$
1.3 Praktisches Berechnungsbeispiel

Für eine typische chemische Rakete mit $I_{sp} = 300$ Sekunden gilt: $u = 300 \times 9,81 = 2.943 \, \text{m/s}$

Bei einem Massenverhältnis von $m_0/m_f = 5$ ergibt sich: $\Delta v = 2.943 \times \ln(5) = 2.943 \times 1,609 = 4.735 \, \text{m/s}$

Dies stellt die maximale Geschwindigkeitsänderung im Vakuum dar. Bei realen Raketenstarts ist ein zusätzliches $\Delta v$ erforderlich, um Gravitationsverluste und den atmosphärischen Luftwiderstand auszugleichen; insgesamt sind typischerweise 9.000–10.000 m/s nötig, um eine niedrige Erdumlaufbahn (LEO) zu erreichen.
Teil 2: Schuberzeugung und Verbrennungsphysik
2.1 Schubgleichung für Raketentriebwerke

Der Gesamtschub, den ein Raketentriebwerk erzeugt, setzt sich aus zwei Komponenten zusammen: dem Impulsschub und dem Druckschub. Die vollständige Gleichung lautet:

F=m˙ue+(Pe−Pa)Ae

Hierbei ist:

F der Gesamtschub (in Newton)
ṁ der Massenstrom des Treibstoffs (in kg/s)
u_e die Ausströmgeschwindigkeit am Düsenaustritt (in m/s)
P_e der Druck am Düsenaustritt (in Pa)
P_a der Umgebungsdruck (in Pa)
A_e die Querschnittsfläche am Düsenaustritt (in m²)

Der erste Term stellt den Impulsschub (Massenstrom × Geschwindigkeit) dar, während der zweite den Druckschub (Druckdifferenz × Fläche) beschreibt.
2.2 Analyse der Strömung in einer Düse

Für eine konvergent-divergente Düse (de-Laval-Düse) lässt sich die Ausströmgeschwindigkeit aus thermodynamischen Prinzipien herleiten. Unter der Annahme eines idealen Gasverhaltens und einer isentropen Strömung gilt:

Aus der Energieerhaltung: hc+uc22=he+ue22

Dabei steht h für die Enthalpie, und der Index c bezieht sich auf die Bedingungen in der Brennkammer. Da u_c ≪ u_e gilt, folgt: ue=2(hc−he)

Für ein ideales Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität gilt: ue=2cp(Tc−Te)

Hierbei ist T die Temperatur und c_p die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck. Unter Verwendung der isentropen Zustandsänderung ergibt sich: TeTc=(PePc)γ−1γ

Daraus folgt: ue=2γγ−1RTc[1−(PePc)γ−1γ]

Hierbei ist:

γ das Isentropenexponenten-Verhältnis (≈ 1,2–1,4 für Verbrennungsprodukte)
R die spezifische Gaskonstante
P_c der Brennkammerdruck
P_e der Druck am Düsenaustritt

2.3 Charakteristische Geschwindigkeit

In der Ingenieurpraxis wird häufig die charakteristische Geschwindigkeit c* (c-Stern) als Effizienzkenngröße verwendet: c∗=PcAtm˙

Dabei ist A_t die Querschnittsfläche am engsten Düsenquerschnitt (Halsquerschnitt). Dies bezieht sich auf die Ausströmgeschwindigkeit: $u_e = C_F \cdot c^*$

Hierbei ist $C_F$ der Schubkoeffizient: $C_F = \sqrt{\frac{2\gamma^2}{\gamma-1} \left( \frac{2}{\gamma+1} \right)^{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}} \left[ 1 - \left( \frac{P_e}{P_c} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \right]} + \frac{(P_e - P_a) A_e}{P_c A_t}$
2.4 Beispielrechnung für den Schub

Für eine Wasserstoff-Sauerstoff-Rakete:

Brennkammerdruck $P_c = 10 \text{ MPa}$
Halsdurchmesser = $0,3 \text{ m} \rightarrow A_t = \pi(0,15)^2 = 0,0707 \text{ m}^2$
Massenstrom $\dot{m} = 300 \text{ kg/s}$
$\gamma = 1,22$
$T_c = 3500 \text{ K}$
Molmasse $M = 18 \text{ kg/kmol}$
Universelle Gaskonstante $R_{\text{universal}} = 8314 \text{ J/(kmol·K)}$
Spezifische Gaskonstante $R = R_{\text{universal}}/M = 462 \text{ J/(kg·K)}$

Zuerst berechnen wir $c^*$: $c^* = \sqrt{\frac{R T_c}{\gamma \left( \frac{2}{\gamma+1} \right)^{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}}}$ ...

Moment, das ist unrealistisch hoch. Lassen Sie mich das korrekt nachrechnen:

Tatsächlich liegt $c^*$ für H₂/O₂ in der Praxis bei etwa 1700–2300 m/s. Unter Verwendung von c* = 2000 m/s: CF = ue / c* = 4400 / 2000 ≈ 2,2

Gesamtschub: F = 300 × 4400 + (105 − 105) × Ae = 1.320.000 N = 1320 kN

(Hierbei wird vorausgesetzt, dass die Expansion auf Meereshöhe dem Umgebungsdruck entspricht.)
Teil 3: Physik der vertikalen Aufstiegsphase
3.1 Bewegungsgleichung während des Aufstiegs

Während des vertikalen Aufstiegs wirken drei Hauptkräfte auf die Rakete:

Fnet = Fschub − Fgravitation − Fwiderstand

Unter Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes für Systeme mit veränderlicher Masse: m(t) dv/dt = Fschub(t) − m(t)g(t) − 1/2 ρ v² CD A

Dabei gilt:

ρ ist die Luftdichte (höhenabhängig)
v ist die Geschwindigkeit
CD ist der Luftwiderstandsbeiwert